第二章 投影作圖
§2—1投影的概念
一、投影
在燈光或太陽光照射物體時，在地面或牆上酒會產生與原物體相同或相似的影子，人們根據這個自然現象，總結出將空間物體表達為平面圖形的方法，即投影法
在投影法中：投影線——在投影法中，向物體投射的光線，稱為投影線；
投影面——在投影法中，出現影像的平面，稱為投影面；
投影———在投影法中，所得影像的集合輪廓則稱為投影或投影圖。
二、投影法的分類
投影法依投影線性質的不同而分為兩類：
1．中心投影法
投影線由由投影中心的一點射出，通過物體與投影面相交所得的圖形，稱為中心投影。投影線的出發點稱為投影中心。這種投影方法，稱為中心投影法；?得的單面投影圖，稱為中心投影圖。如圖2—1所示。由於投影線互不平行，所得圖形不能反映提的真實大小，因此，中心投影不能作為繪製工程圖樣的基本方法
圖2—1中心投影法
圖2—2平行投影法（a） 圖2—3平行投影法（b）
2．平行投影法
如果將投影中心移至無窮遠處，則投影可看成互相平行的通過物體與投影面相交，所得的圖形稱為平行投影；用平行投影線進行投影的方法稱為平行投影法。在平行投影法中，根據投射方向是否垂直投影面。 平行投影法又可分為兩種，（1）斜投影法：投影方向（投影線）傾斜於投影面，稱為斜角投影法；（2）直角投影法：投影方向（投影線）垂直於投影面，稱為直角投影法，簡稱正投影法。如上圖所示。正投影法是工程製圖中廣泛應用的方法。
3．軸測投影
軸測投影是用平行投影法在單一投影面上取得物體立體投影的一種方法。用這種方法獲得的軸測圖直觀性強，可在圖形上度量物體的尺寸，雖然度量性較差，繪圖也較困難，仍然是工程中一種較好的輔助手段。以後將有一章專門講解有關部門軸測圖的基本知識。
三、正投影的基本特性
圖2—4正投影特性
以對直線、平面進行正投影來說明其特性，如圖2—4所示。
1．真實性
當直線或平面圖形平行於投面時，投影反映線段的實長和平面圖形的真實形狀；
2．積聚性
當直線或平面圖形垂直於投面時，直線段的投影積聚成一點，平面圖形的投影積聚成一條線；
3．類似性
當直線或平面圖形傾斜於投面時，直線段的投影仍然是直線段，比實長短；平面圖形的投影仍然是平面圖形，但不反映平面實形，而是原平面圖形的類似形。
由以上性質可知，在採用正投影畫圖時，為了反映物體的真實形狀和大小及作圖方便，應盡量使物體上的平面或直線對投影嘸處於平行或垂直的位置。
四、三個投影面的建立（三面投影體系的建立）
如圖2—5所示是三個形狀不同的物體，它們在同一個投影面上的投影是相同的。很明顯若不附加其它說明，僅憑這一個投影面上的投影，是不能表示物體的形狀和大小的。
圖2—5一個投影不能確定物體的形狀
1．三個投影面的建立
一般需將物體放置在如圖2—6的三面投影體系中，分別向三個投影面進行投影，然後將所得到的三個投影聯繫起來，互相補充即可反映出物體的真實形狀和大小。
圖2—6三面投影體系
2．三投影面名稱
正投影面——正立著的面，簡稱正投影面或V面，
水平投影面——水平的面為水平投影面，簡稱水平面或H面，
側投影面——冊立著的面為側投影面，簡稱側面或W面。
在三投影面中：OX軸——V面和H面的交線，
OY軸——H面和W面的交線，
OZ軸——V面和W面的交線，
坐標原點——OX、OY、OZ三軸的交點。
二、兩點的相對位置和重影點
1．兩點的相對位置
根據相對於投影面的距離確定如圖2—11所示。（1）距離W面遠者在左，近者在右（根據V、H的投影分析）；（2）距離V面遠者在前，近者在後（根據H、W面的投影分析）；（3）距離H面遠者在上，近者在下（根據V、W面的投影分析）
圖2—11兩點的相對位置
2．重影點
當兩點的某個坐標相同時，該兩點將處於同一投影線上，因而對某一投影面具有重合的投影，則這兩個點的坐標稱為對該投影面的重影點。在投影圖上，如果兩個點的投影重合，則對重合投影所在的投影面的距離（即對該投影面的坐標值）較大的那個點是可見的，而另一個點是不可見的，應將不可見的點用括弧括起來，如圖2—12中的（b）點的投影。如圖2—12所示，∵A、B兩點到V面、W面的距離相等，所以A、B兩點在H面投影重合，故稱A、B兩點為對H面的一對重影點，B點在H面的投影不可見。
圖2—12重影點的投影
§2—3直線的投影
空間兩點確定一條空間直線段，空間直線段的投影一般仍為直線，如圖2—13所示將直線AB向H面投影，因為線段上的任意兩點可以確定線段在空間的位置，所以直線段上兩端點A、B的同面投影a、b的連線就是線段在該面上的投影。
圖2—13空間線段的投影
一、直線段對於一個投影面的投影
空間直線段對於一個投影面的位置有傾斜、平行、垂直三種。三種不同的位置具有不同的投影特性。
1．收縮性
當直線段AB傾斜於投影面時，如圖2—14（a），它在該投影面上的投影
長度比空間AB 線段縮短了，這種性質稱為收縮性。 2．真實性
當直線段AB平行於投影面時，它在該投影面上的投影與空間AB線段相等，這種性質稱為真實性。如圖2—14（b）。
3．積聚性
當直線段AB垂直於投影面時，它在該投影面上的投影重合於一點，這種性質稱為積聚性。如圖2—14（c）。
圖2—14線段的投影特性
二、直線段在三面投影體系中的投影特性
圖2—15投影面的平行線
空間線段因對三個投影面的相對位置不同，可分為三種：投影面的平行線，投影面的垂直線，投影面的一般位置直線（傾斜線）前面兩種稱為特殊位置直線，后一種稱為一般位置直線。
1．投影面的平行線
平行於一個投影面，而對另兩個投影面傾斜的直線段，稱為投影面平行線。正平線——平行於V面的直線段；水平線——平行於H面的直線段；側平線——平行於W面的直線段如圖2—15所示，列出了三種投影面的平行線的投影特點和性質。
以水平線為例：按照定義，它平行於H面，線上所有點與H面的距離都相同，這就決定了它的投影特性是：（1）AB 的水平投影
=AB ，即反映實長；（2）正面投影平行於OX軸，即
∥OX軸；（3）側面投影平行於OYw軸，即
∥OYw軸；（4）水平投影與OX 軸的夾角，反映該直線對V面的傾角β；水平投影與OY軸的夾角，反映該直線對W面的傾角γ。其它二投影面平行線的分析同上。 投影面平行線的投影特性概括為：如圖2—15所示，（1）在直線段所平行的投影面上的投影反映實長，且其投影與投軸的夾角反映直線與另兩投影面的傾角；（2）另兩投影面平行於相應的投影軸（構成所平行的投影面的兩根軸）。
投影面平行線的辨認：
（1）當直線的投影有兩個平行於投影軸時；
（2）第三投影與投影軸傾斜時，則該直線一定是投影面的平行線，且一定平行於其投影為傾斜線的那個投影面。
2．投影面垂直線
垂直於一個投影面，即與另兩個投影面都平行的直線段，稱為投影面的垂直線。投影面垂直線有三種：鉛垂線——直線⊥H面；正垂線——直線⊥V面；側垂線——直線⊥W面。圖2—16列出了三種投影面垂直線的投影特點及性質。投影面垂直線的投影特性概括為：
（1）在所垂直的投影面貌上的投影積聚為一點；
（2）在另外兩個投影面上的投影，垂直於相應的投影軸，且反反應直線段的實長。
如何判斷投影面的垂直線？根據投影面垂直線的投影特性來判斷即可。
圖2—16垂直線
3．一般位置直線
由直線段對一個投影面的投影特性可知，當直線傾斜於投影面時，它在投影面上的投影的長度比空間線段的長度縮短了，具有收縮性，如圖2—17所示。此特性對於在三面投影體系中的傾斜（一般位置）線段同樣適用，因而，同理可得在三面投影體系中它的投影特性為：
（1）三個投影都是一般傾斜線段，且都小於線段的實長；
（2）三面投影都與投影軸傾斜，投影與投影軸的夾角，均不反應直線段對投影面的傾角。
圖2—17一般位置直線的投影
判斷：若直線段的投影與三個投影軸都傾斜，可判斷該直線為一般位置直線。
2．點的二次換面
由於應用換面法解決實際問題時，有時一次換面還不便於解題，有時還需要二次或多次變換投影面。如圖3-27表示點的二次換面，其求點的新投影的作圖方法和原理與一次換面相同。
但要注意：在更換投影面時，不能一次更換兩個投影面，為在換面過程中二投影面保持垂直，必須在更換一個之後，在新的投影體系中交替地再更換另一個。如2-26（a）所示，先由H1代替H面，構成新的投影體系V/H1，O1X1為新坐標軸；再以這個新投影體系為基礎，以V2面代替V面，又構成新的投影體系V2/H1，O2X2為新坐標軸。
二次換面的作圖步驟如圖2-26（b）所示：
（1）先換H面，以H1面替換H面，建立V/H1新投影體系，得新投影
，而
=
=A
，作圖方法與點的一次換面完全相同； （2）再換V面，以V2面替換V面，建立V2/H1新投影體系，得新投影
，而
==A，作圖方法與點的一次換面類似。 （1） （2）
圖2-26點的二次換面
註：根據實際需要也可以先換V 面，后換H 面，但兩次或多次換面應該是V 面和H 面交替更換，如：
→
→
→
……。 三、幾個基本作圖問題
1．將一般位置直線變換為投影面的平行線
如圖2-27（a）為把一般位置直線AB變換為投影面平行線的情況。用V1面代替V面，使V1面∥AB並垂直於H面。此時，AB在新投影體系V1/H中為正平線。圖2-27（b）為投影圖。作圖時，先在適當位置畫出與不變投影平行的新投影軸O1X1（O1X1∥），然後根據點的投影變換規律和作圖方法，求出A、B兩點在新投影面V1上的新投影
、
，再連接直線。則反應線段AB的實長，即=AB，並且新投影
和新投影軸（O1X1軸）的夾角即為直線AB對H面的傾角α，如圖2-27（b）。 如圖2-27（c）所示若求線段AB的實長和與V面的傾角β，應將直線AB 變換成水平線（AB∥H1面）也即應該換H面，建立V/H1新投影體系，，基本原理和作圖方法同上。
（a） （b） （c）
圖2-27將一般位置直線變換為投影面平行線
2．將投影面的平行線變換為投影面垂直線
將投影面平行線變換為投影面的垂直線，是為了使直線積聚成一個點，從而解決與直線有關部門的度量問題（如求兩直線間的距離）和空間文質彬彬問題（如求線段面交點）。應該選擇哪一個投影面進行變換，要根據給出的直線的位置而定。即選擇一個與已知平行線垂直的新投影面進行變換，使該直線在新投影體系中成為垂直線。
如圖2-28（a）表示將水平線AB變換為新投影面的垂直線的情況。圖2-28（b）表示投影圖的作法：因所選的新投影面垂直於AB，而AB為水平線，所以新投影面一定垂直於H面，故應換V面，用新投影體系V1/H更換舊投影體系V/H，其中O1X1⊥。 （a） （b）
圖2-28將投影面的平行線變換為投影面垂直線
3．將一般位置直線變換為投影面垂直線（需要二次換面）
如果要將一般位置直線變換為投影面垂直線，必須變換兩次投影面。先將一般位置直線變換為投影面的平行線，然後再將該投影面平行線變換為投影面垂直線。
如圖2-29所示，先換V面，使直線AB在新投影體系V1/H中成為正平線，然後再換H面，使直線AB在新投影體系V1/H2中成為鉛垂線。其作圖方法詳見圖2-29（b），其中O1X1∥，O2X2⊥。 （a） （b）
