一、概述
平面與立體相交，即立體被平面截切所產生的表面交線稱為截交線，該平面稱為截平面。
（一）截交線的性質
由於立體表面的形狀不同和截平面所截切的位置不同，截交線也表面為不同的形狀，但任何截交線都具有下列基本性質：
1.共有性
截交線既屬於截平面，又屬於立體表面，故截交線是截平面與立體表面的共有線，截交線上的每一點均為截平面與立體表面的共有線。
2.封閉性
由於任何立體都佔有一定的封閉空間，而截交線又為平面截切立體所得，故截交線所圍成的圖形一般是封閉的平面圖形。
3.截交線的形狀
截交線的形狀取決於立體的幾何性質極其與截平面的相對位置，通常為平面折線、平面曲線或平面直線組成。
當平面與片面立體相交時，其截交線為封閉的平面折線（圖5-2）。
當平面與迴轉提相交時，其截交線一般為封閉的片面曲線（圖5-3a）或平面曲線和直線圍成的封閉的平面圖形（圖5-3b）或平面多邊形（圖5-3c）。
（二）求畫截交線的一般方法、步驟
求畫截交線就是求畫截平面與立體表面的一系列共有點。求共有點的方法通常有：
（1）面上取點法；
（2）線面交點法。
具體作圖步驟為：
（1）找（求）出屬於截交線上一系列的特殊點；
（2）求出若干一般點；
（3）判別可見性；
（4）順次連接各點（成折線或曲線）。
1.面上取點法
平面與立體相交，截片面處於特殊位置，截交線有一個投影或兩個投影有積聚性，利用積聚性採用面上取點法，求出截交線上共有點的另外一個或兩個投影，此方法稱為面上取點法。圖5-2b所示唯一正放的正六稜柱被正垂面P截切，由於截平面P是正垂面，截交線的正面投影可直接確定（即積聚在截平面的有積聚性的同面投影上），截交線的水平投影積聚在正六稜柱各側棱面水平投影上，故由截交線的正面投影和水平投影可求出其側面投影。
2.線面交點法
平面與立體相交，截平面處於特殊位置，截交線有一個投影或兩個投影有積聚性，求立體表面上的稜線或素線與截平面的交點，該交點即為截交線上的點（共有點），此方法稱為線面交點法，如圖5-4所示。
二、平面與平面立體相交
平面與平面立體相交，其截交線是一封閉的平面折線。求平面與平面立體的截交線，只要求出平面立體有關的稜線與截平面的交點，經判別可見性，然後依次連接各交點，即得所求的截交線。也可直接求出截平面與立體有關表面的交線，由各交線構成的封閉折線即為所求的截交線。
當截平面為特殊位置時，它所垂直的投影面上的投影有積聚性。對於正放的稜柱，因各表面都處於特殊位置，故可利用面上取點法求畫其截交線（圖5-2）。對於稜錐，因含有一般位置平面，故可採用線面交點法求畫截交線。
[例5-1] 求正垂面P與正四稜錐的截交線（圖5-4）
分析 截平面P為正垂面，它與正四稜錐的四個側棱面都相交，故截交線圍成一個四邊形。
由於截平面P的正面投影有積聚性，所以四稜錐各側稜線的正面投影s′a′、s′b′、s′c′、s′(d′)與Ｐv的交點１′、２′、３′、（４′）即為四邊形四個頂點的正面投影，它們都在Ｐv上，故本題主要是求截交線的水平投影和側面投影。作圖方法如下：
根據點的投影規律，在相應的稜線上求出屬於截交線的交點，經判別可見性，然後依次連接各點的同面投影，使得正四稜錐被正垂面Ｐ截切后的投影。
三、平面與迴轉體相交
主要介紹特殊位置平面與幾種常見迴轉體相交的截交線畫法。
（一）平面與圓柱相交
由於截平面與圓柱軸線的相應位置不同，平面截切圓柱所得的截交線有三種：矩形、圓及橢圓，見表５-１。
另一情況，當與圓柱軸線傾斜的截平面截到圓柱的上或下的底圓或上、下底圓均被截到時，截交線由一段橢圓與一段直線或兩段橢圓與兩段直線組成。
［例５-２］求圓柱被正垂面Ｐ截切后的投影（圖５-５）。
分析
由於圓柱軸線垂直Ｈ面，截平面Ｐ垂直Ｖ面且與圓柱軸線傾斜，故截交線為橢圓。截交線的正面投影積聚在截平面的正面投影Ｐv上；截交線的水平投影積聚在圓柱面的水平投影（圓）上；截交線的側面投影為橢圓，但不反映真形。由此可見，求次截交線主要是求其側面投影。可用面上取點法或線面交點法直接求出截交線上點的正面投影和水平投影，再求其側面投影后將各點連線即得（本例是用面上取點法）。
作圖步驟（如圖５-５b所示）：
（１）求特殊點（如點Ｉ、Ｖ、Ⅲ、Ⅶ）
由正面投影標出正視轉向輪廓線上的點１′、５′，按點屬於圓柱面的性質，可求得水平投影１、５及側面１″５″。同理，由正面投影標出側視轉向輪廓線上的點的正面投影３′、（７′），可求得水平投影３、７及側面投影３″、７″。點Ｉ、Ｖ分別為截交線橢圓的最低點（最左點）和最高點（最右點）；點Ⅲ、Ⅶ為橢圓的最前點和最後點。點Ｉ、Ｖ和點Ⅲ、Ⅶ也正是橢圓的長軸、短軸的端點。
（２）求一般點
可由有積聚性的水平投影上先標出２、８、４、６和正面投影２′、（８′）、４′、（６′），然後按點的投影規律求出側面投影２″、８″、４″、６″。依此可再求出若干一般點。
（３）判別可見性
由於Ｐ平面的上面部分圓柱被切掉，截平面左低右高，所以截交線的側面投影為可見的。
（４）依次光華連接各點的側面投影１″、２″、３″、４″、５″、６″、７″、８″、１″為一橢圓即為所求。注意圓柱截切后其側視轉向輪廓線的側面投影應分別畫到３″、７″處。
［例５-３］ 由聯軸節接頭的直觀圖（圖５-６a）,畫出它的三面投影圖（圖５-６b）。
分析 連軸節接點的主體為圓柱，其上端削扁部分是用左、右兩個平行於圓柱軸線的對稱的側平面P及垂直與圓柱軸線的水平面Q截切而成。其下端開槽部分是用前、后兩個平行於圓柱軸線的對稱的正平面S及與圓柱軸線垂直的水平面R截切而成。平面P、S與圓柱表面的截交線是直線，而平面Q、R與圓柱表面的截線為垂直於其軸線的同圓周上的兩段圓弧，故此例的圓柱的削扁與開槽部分的截交線均可用線面交點法作出。
作圖步驟（如圖5-6b）：
（1）按圖5—6b箭頭所指方向為正面投影方向，先畫出連軸節接軸主體（圓柱）的三面投影圖。
（2）畫上斷削扁部分 由於截平面P為側平面，Q為水平面，因此，它們與圓柱的截交線的正面投影都有積聚性。與截平面P的截交線為側平矩形（面），其正面投影和水平投影都積聚為直線，分別積聚在Ｐv和Pн上，根據這兩面投影，可求出其反映真形為矩形的側面投影，截平面Q與圓柱軸線垂直，與截平面Q的截交線為同圓周上的、左右對稱的兩段水平圓弧，其水平投影積聚在圓柱面有積聚性的左、右圓周上，其正面投影積聚在Q
左、右兩邊，根據這兩面投影求出積聚在Q
上的側面投影，注意其兩端點不與圓柱側視轉向輪廓線的側面投影接觸。
（3）畫下端開槽部分 由於截平面S為正平面，R為水平面，因此它們與圓柱的截交線的側面投影都有積聚性。與截平面S的截交線為正平矩形（面），其側面投影和水平投影分別積聚成粗實直線和虛直線，分別積聚在S和S
上。根據這兩面投影，可求出其反映真形為矩形的正面投影。截平面R與圓柱軸線垂直，與截平面R的截交線為同圓周上的、左右對稱的兩段水平圓弧，其水平投影積聚在圓柱面有積聚性的左、右圓周上，其側面投影在積聚在R的中間，根據這兩面投影可求出積聚在R上左、右各一小段正面投影的粗實線，其間的一段虛線為槽底面不可見的有積聚性的證正面投影，也要畫出。
以後注意，由於圓柱下端開一左右向的通槽，正視轉向輪廓線的下端被切去了一段，作圖后應擦去這一段的正面投影，用截平面S的截交線和截平面R的截交線的正面投影代替擦去的一段，成為下端圓柱正面投影的外形輪廓。
（二）平面與圓錐相交
由於截平面與圓錐軸線的相對位置不同，平面截切圓錐所得的截交線有五種：圓、橢圓、拋物線與直線組成的平面圖形，雙曲線與直線組成的平面圖形及過錐頂的三角形，見表5-2。
另一情況，當θ>α且截平面截到圓錐的底圓時，截交線由一段橢圓曲線與一段直線組成。
除上述用面上取點法求圓柱截交線上的點外，還可以用下列輔助平面法求圓錐截交線上的點：輔助平面法是根據三面共點的幾何原理，採用加輔助平面，使其與截平面和立體的表面相交，求出與截平面相交的輔助交線和與立體表面相交的輔助截交線的交點，即為所求截交線上的點，依此，完成截交線上一系列點的投影，如圖5-7所示。
圖5-7所示為一正放的圓錐被鉛垂面P截切，如求截交線上一般點D、E，則可採用輔助水平面R與截平面P和圓錐面相交的輔助交線和輔助截交線的焦點D、E三面相交的交點，即為所求截交線上的點。
求共有點時，應先求出特殊點。其次，為作圖準確，還應求出若干個一般點，並使這些點分步均勻。
[例5-4] 求圓錐被正平面P截切后的投影（圖5-8）。
分析 由於圓錐軸線為鉛垂線，截平面P為正平面，故截交線由雙曲線和直線組成。截交線的正面投影反映真形，左右對稱；水平投影和側面投影分別成為橫向直線和豎向直線，且分別積聚在Pн、P上。因此，此例主要是求截交線的正面投影，可用線面交點法，面上取點法或輔助平面法作出。
作圖步驟（如圖5-8b所示）：
（1）求特殊點（如A、B、C） 截交線上的最坐點A和最右點B在底圓上，因此可由水平投影a、b在底圓的正面投影上定出a′、b′。截交線上的最高點C在圓錐最前側視轉向輪廓線上，因此，可由側面投影c″直接得到正面投影c′。
（2）求一般點（如D、E） 作輔助水平面R的正面跡線R及側面跡線R，該輔助面與圓錐面交線的水平投影是以1′2′為直徑的圓，它與Pн相交得d、e，再求出d′、
e′和d″、e″，如圖5-7和圖5-8所示。
（3）判別可見性 由於P平面前面部分圓錐被切掉，所以截交線的正面投影
a′d′c′e′b′為可見。
（4）連線 按截交線水平投影的順序，將a′、d′、c′、e′、b′、a′光滑地連接起來，即得截交線的正面投影a′d′c′e′b′a′（其中，a′d′c′e′b′為圓錐面上的截交線的正面投影；b′a′為圓錐底面上的截交線的正面投影，它在圓錐底面的有積聚性的正面投影上）。
[例5-5]求錐面被正垂面P截切后的投影（圖5-9）。
分析 由於圓錐軸線為鉛垂線，截平面為正垂面，與圓錐軸線斜交，且與圓錐的所有素線相交，故截交線為橢圓。截交線的正面投影積聚成一直線，水平投影個側面投影均為橢圓，但不反映真形。可採用面上取點法和線面交點法作出截交線的水平投影和側面投影。也可選用輔助平面法求解本題。
在本例中也運用輔助平面法來求作截交線上一些點的投影。
作圖步驟（如圖5-9b所示）：
（1）求特殊點（如A、B、C、D） 截交線上最底點A和最高點B，是橢圓長軸上的兩個端點，它們的正面投影a′、b′是圓錐體正面投影左、右兩條正視轉向輪廓線與截平面相交的交點的正面投影，可以直接求出。水平投影a、b和側面投影a″、b″可按點從屬於線的原理直接求出。截交線的最前C和最後點D是橢圓短軸上的兩個端點，它們的正面
投影c′（d′）為a′b′的中點，可C、D兩點作輔助水平面Q截切，作出Q面與圓錐軸線產生的截交線（緯圓）的水平投影求得c、d,再由c、d和c′、d′求得c″和d″。Ⅰ、Ⅱ兩點是圓錐面前、后兩條側視轉向輪廓線與截平面相交的交點，它們的正面投影
1′、2′和側面投影1″、2″都可直接求出。其水平投影1、2可按點的三面投影關係求得。
（2）求一般點（如點Ⅲ、Ⅳ） 可利用輔助平面法（圖中用輔助水平面R）求出Ⅲ、Ⅳ兩點的水平投影3、4和側面投影3″、4″。
（3）判別可見性 截平面P上面部分圓錐被切掉，截平面左低右高，所以截交線的水平投影和側面投影均為可見。
（4）連線 將截交線的水平投影和側面投影光滑地連成橢圓，連線時注意曲線的對稱性。也可用長軸a b和短軸c d作橢圓，得截交線的水平投影；用長軸c″d″和短軸
a″b″作橢圓，得截交線的側面投影。
（5）整理外形輪廓線的側面投影。
（三）平面與圓球相交
平面與圓球相交，不論截平面處於何種位置，其截交線都是圓。當截平面通過球心時，這時截交線（圓）的直徑最大，等於球的直徑。截平面離球心越遠，截交線圓的直徑越小。
由於截平面對投影面位置的不同，截交線（圓）的投影也不相同。截平面平行於投影面時，截交線在該投影面上的投影為圓（圖5-10a、b）；截平面垂直於投影面時，截交線的投影積聚為直線（圖5-10c的正面投影）；截平面傾斜於投影面時，截交線的投影為橢圓（圖5-10c的水平、側面投影）。
[例5-6] 求圓球被正垂面P截切后的投影（5-10c）。
分析: 圓球被正垂面P截切后的截交線（圓），其正面投影積聚不在P上，為直線段a′b′且等於該圓的直徑。截交線（圓）的水平投影和側面投影均為橢圓。可用面上取點法或輔助平面法作圖。
作圖步驟（如圖5-10c所示）：
（1） 求特殊點（如A、B、C、D、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ） ①先求轉向輪廓上的點A和B、Ⅲ和Ⅳ、Ⅴ和Ⅵ。a′和b′、3′和（4）′、5′和（6′）分別是截交線上的正視轉向輪廓線、俯視轉向輪廓線和側視轉向輪廓線上的點的正面投影，它們的水平投影和側面投影可按點屬於線的原理直接求出。其中，點A是截交線的最低點，也是最左點，點B是最高點也是最右點。②求截交線（圓）的H面投影橢圓、W面投影橢圓的長、段軸。在截交線（圓）的一對垂直相交的共軛直徑AB是正平線，其正面投影a′b′的長度等於截交線（圓）的直徑，它的側面投影a″b″和水平投影a b分別為這兩個投影橢圓的短軸。長軸CD和短軸AB互相垂直平分，處為正垂線位置的長軸CD的正面投影c′（d′）積聚在a′b′的中點上，水平投影c d和側面投影c″d″可利用緯圓法求得，也可利用c d= c″d″= a′b′直接求得（讀者自行分析其原因）。C、D兩點分別是截交線發最前點和最後點。
（2）求一般點（如Ⅰ、Ⅱ） 可利用輔助平面法（圖中用輔助水平面Q）求出Ⅰ、Ⅱ兩點的水平投影1、2和側面投影1″、2″。
（3）判別可見性 截平面P上面部分球體被切掉，截平面左低右高，所以截交線的水平投影和側面投影均為可見。
（4）連線 將求得的截交線上點的水平投影和側面投影光滑連成橢圓，連線時注意曲線的對稱性。也可用長軸a b和短軸c d作橢圓，得截交線的水平投影；用長軸c″d″和短軸a″b″作橢圓，得截交線的側面投影。
（5）整理外形輪廓線 在水平投影上，球的俯視轉向輪廓線的水平投影只畫到3、4處，在側面投影上，球的側視轉向輪廓線的側面投影只畫到5″、6″處。
從上述諸例中可以看出，轉向輪廓線上的點是截交線（亦是後面相貫線）上曲線段的轉向（改變方向）點，故轉向輪廓線因此而得名。
[例5-7] 見圖5-11a，畫出球筏芯的投影圖。
分析 球筏芯的主體為圓球，有一個過球心的圓柱橫孔，左右兩端被兩個側平面S截成兩個側平圓，且左、右對稱，直徑相等，球體上部開一前後、左右對稱穿通的凹槽，凹槽由兩個側平面P和一個水平面Q組成。兩個P面與球的截交線是平行側面的兩段相同的圓弧，其側面投影重合。Q面與球的截交線為同一圓周上的前後兩段對稱的水平圓弧，兩個P面與Q 面之間的兩條交線為正垂線。可以用緯圓法作出凹槽上平面P、Q與球面截交線的側面投影和水平投影的圓弧。
作圖步驟（如圖5-11b所示）
（1）作兩側平面S與球的截交線，其正面投影和水平投影均分別積聚為直線，側面投影反映截交線圓弧的真形。應該注意，由於左、右兩側個被切掉一段球面，作圖后，應擦去正視轉向輪廓線的正面投影和俯視轉向輪廓線的水平投影的左、右個一段圓弧，再作出軸線橫過球心的圓柱孔的三面投影。
（2）作凹槽兩側平面P與球的截交線，其正面投影積聚在P上，水平投影積聚成直線，側面投影反映截交線為圓弧的真形，其半徑為R。應該注意，由於球的頂部中間凹槽切掉一段球面，作圖后，應擦去球的這一段側視轉向輪廓線的側面投影。
（3）作凹槽底面（水平面）Q與球的截交線，其水平投影反映為同一圓周上的前後對稱的兩段圓弧的真形，其半徑為R1，正面投影積聚在Q上，根據這兩個投影，可求出側面投影積聚成可見的同一圓周上的前後對稱的兩小段粗實直線，其間一段虛線為凹槽底面不可見的有積聚性的側面投影，也應該畫出。
（四）平面與組合迴轉體相交
組合迴轉體由若干基本迴轉體組成。平面與組合迴轉體相交，則形成組合截交線。作圖時首先要分析各部分的曲面性質及其分界線，然後按照它們各自的幾何特性確定其截交線的形狀，再分別作出。
[例5-8] 圖5-12a所示為一頂尖，畫出它的投影圖。
分析 頂尖由一同軸的圓錐和圓柱組成，其上切去的部分可以看成被水平面P和正垂面Q截切而成。平面P與圓錐面的截交線為雙曲線，與圓柱面的截交線為兩平行直線，它們的水平投影均反映真形，而正面投影和側面投影分別積聚在P和P上。平面Q截切圓柱的範圍只截切到P面為止，故與圓柱面的截交線是一段橢圓弧，其正面投影積聚在Q上，側面投影積聚在圓柱的側面投影上，而水平投影為橢圓弧但不反映真形。所以，頂尖上的整個截交線是由雙曲線、兩平行直線和橢圓弧組成的。作圖時，對截交線為兩平行直線的部分，可利用圓柱投影的積聚性直接求得，而截交線為雙曲線和橢圓弧的部分，則需要運用輔助平面法或面上取點線法進行作圖。
作圖步驟（如圖5-12b所示）：
（1）畫出組成頂尖主體（圓錐、圓柱）的三面投影圖
（2）畫出三段截交線的分界點 先求出雙曲線與矩形、矩形與橢圓的分界點B、C和E、D的正面投影b′、（c′）和e′、（d′），再求其側面投影b″、c″和（e″）、（d″），最後求其水平投影b、c和e、d。
（3）畫左邊雙曲線的投影 求特殊點：雙曲線的頂點A和末端兩點B和C（即為中間截交線為兩平行直線左邊兩端點）。先在正面投影上確定a′,然後求得它的其它兩個投影
a、a″。再求一般點，如Ⅰ和Ⅱ兩點，可用輔助側平面R求得。用曲線光滑地連接各點，即得雙曲線的水平投影，其正面投影和側面投影分別積聚在P和P上。
（4）畫右邊橢圓弧的投影 先求特殊點F、E和D（中間截交線為兩平行直線右邊兩端點），即先在正面投影上確定f′，就可求得它的其它兩個投影f、f″。再求一般點，如Ⅲ和Ⅳ兩點，可根據其截交線的正面投影和側面投影有積聚性，定出3′、4′和3″、4″，再求得水平投影3、4。用曲線光滑地連接各點，即得橢圓弧的水平投影，其正面投影積聚在Qv上，側面投影積聚在圓柱的側面投影上。
（5）畫中間直線部分的投影 將b和e、c和d相連成粗實線（即為P面與圓柱面截切的截交線為兩平行直線的水平投影），其正面投影積聚在P上，側面投影積聚在P上，將d和e相連成粗實線（兩截平面P、Q交線的水平投影），b和c改畫成虛線（下半部圓錐和圓柱同軸相貫的交線不可見圓弧線段的投影），即得這段不可見相貫線的水平投影。其正面投影積聚成直線，側面投影積聚在有積聚性的圓柱的側面投影（圓）上。
[例5-9] 圖5-13a所示為一連桿頭，畫出它的投影圖。
分析 連桿頭由組合迴轉體切割而成。這個組合迴轉體的左端是圓柱，中段是內環台的一部分，右段是圓球，它們之間是同軸相貫的光滑過渡。用兩個前後對稱的正平截平面P截切這個組合迴轉體，再開一個正垂圓柱孔，就形成了這個連桿頭。截平面P為正平面，它與右段球面的截交線為圓，與中段內環面的截交線為一般曲線，與左段圓柱不相交。由於P為正平面，其正面投影反映真形，水平投影和側面投影分別積聚在Pн和P上，又由於兩個正平截平面P在這個連桿頭上前後對稱截切，前後截交線的正面投影互相重合，因此，本題就只介紹求前面正平面截成的截交線的正面投影。
作圖步驟（如圖5-13b所示）：
（1）求這三段迴轉面的分界線（即是求三段同軸迴轉體的相貫線） 分界線的位置可用幾何作圖方法求出。在正面投影上作球心與內環台的正視轉向輪廓線的圓心的連心線
O′O′1，O′O′1與球、環的正視轉向輪廓線的正面投影交於點a′，則a′即為球面和環面的正視轉向輪廓線分界點的正面投影，過a′向下引垂直於軸線的直線，即為球面與環面分界線的正面投影。由O′1點向圓柱正視轉向輪廓線的正面投影引垂線，即為環面與圓柱面分界線的正面投影，由於左邊的圓柱面未參加截切，它與環面的分界線無必要求出。由於這三段曲面光滑過渡，故分界處不畫線。找出分界線是為了確定截平面P截切連桿頭之後，作出不同截交線的分界點。
（2）作前面的截平面P（正平面）與右段球面的截交線為圓的投影 該圓的半徑R可從水平投影或側面投影找出。其正面投影反映真形，但只畫到分界線上的點1′（此點為球、環兩面截交線的正面投影的分界點）處為止。其水平投影和側面投影分別積聚在Pн和P上。
（3）作截平面P與中段內環面的截交線的投影 該段截交線為一般曲線，其頂點的正面投影2′可從水平投影2求出。此外，在2′與1′（為環、球兩面截交線的正面投影的分界點）之間，還可在內環面上任作緯圓，先求出點3″，后求出點3和3′等。
（4）依次光滑連接中段內環面截交線上點的正面投影，它與右段球面截交線為圓弧的正面投影即為所求。
