點的投影

在工程圖中，為清楚地的反映物體的形狀，常採用三面投影圖。如圖2—9a所示，三個互相垂直的投影面：正立投影面（簡稱正面）、水平投影面H（簡稱水平面）和側立投影面W（簡稱側面），組成了三面投影體系，其投影面之間的交線稱為投影軸。V面與H面的交線為OX軸，V面與W面的交線為OZ軸，H面與W面的交線為OY軸，三軸OX、OY、OZ必定互相垂直。

（二）點在三投影面體系中的投影

如圖2—9a所示，將窨點A分別向H、V、W面進行投影，得到水平投影a、正面投影和側面投影。三投影面展開在同一平面上的方法是V面固定不動，湍OY軸將H面、W面分開，H面向下旋轉，W面向左右旋轉使三個投影面展成一個面。點A的三個投影隨投影面展開后，如圖2—9b所示。這時，OY軸分別成H面上的OY和W面上的OY。同樣，也可以將投影面的框線和名稱省略，形成如圖2—9c所示的點的三面投影圖。

（三）坐標和三面投影規律

如把三投誠同體系看作窨直角坐標體系，則H、V、W面為坐標面，OX、OY、OZ軸為坐標軸，點O為坐標原點。由圖2—9可知，點A的直角坐標、、即為點A到三個坐標面的距離，且與點A的投影a、、的關係如下：

a＂=

由此可知：

a由，即點AR 兩坐標決定；

由和，即點A的兩坐標決定；

,即點A的兩坐標決定。

所以空間點A（，Z）在三投影面體系中有唯一確定的一組投影a、a′、a″。反之，如已知點A 的一組投影a、a′、a″即可確定該點的坐標值，即確定其空間位置。根據以上分析，可以得出點在三投影面體系中的投影規律：

1.點的正面投影和水平投影的連線垂直OX軸；這兩個投影到OZ軸和OY軸的距離相等，都反映空間點的X坐標，即a′a⊥OX軸，aa′=aa=x。

2.點的正面投影和側面投影的連線垂直OZ軸；這兩個投影各到OX軸和OY軸的距離相等，都反映空間點的Z坐標，即a′a″⊥OZ軸，aa′= a a″=z。

3.點的水平投影到OX軸的距離和點的側面投影到OZ軸的距離相等，都反映空間點的y坐標，即a″a⊥OY軸，aa= aa″=y。

如圖2-9c，由於在H面投影中的Oa=在W面投影中的Oa，作圖時可過點O作直角∠YOY的角平分線，它與兩條軸線OY都成45°，從a引H面投影中的OY軸的垂線與角平分線相交與一點，再從該點作W面投影中的OY軸的垂線，並延長，使與從a′引出的OZ軸的垂線相交，其交點即為a″。

由於點的兩個投影就能確定點的三個坐標值，也就能確定點的空間位置，所以只要已知點的兩個投影就能作出它的第三個投影。

（四）特殊位置點的投影

有時，空間點在投影面上或投影軸上，稱之為特殊位置的點。如圖2-10所示。點B位於V面上，其三面投影為:b′與B重合（y=0），b在OX軸上，b″在OZ 軸上。點C位於H面上，其三面投影為：c與C重合（z=0），c′在OX軸上，c″在OY軸上。點D在OX軸上，其三面投影為：d和d′都與D重合（y=0，z=0），d″與原點O重合。綜上所述可得出特殊位置點的投影特性為：

（1）投影面上的點必有一個坐標為零，在該投影面上的投影與該點自身重合；在另外兩個投影面上的投影分別在相應的投影軸上。

（2）投影軸上點必有兩個坐標為零，在包含這條軸的兩個投影面上的投影都與該點自身重合；在另一投影面上的投影則與原點O重合。

[例2-1] 如圖2-11a所示，已知點B的正面投影b′及側面投影b″，試求其水平投影 b。

分析已知B的正面投影b′及側面投影b″，則點B的空間位置已經確定，因此，可作出其水平投影b。

作圖步驟（如圖2-11b）所示：

（1）作∠YOY的角平分線。

（2）過b″作W面投影中的OY的垂線使與角平分線相交，自交點作H面投影中的OY的垂線，與過b′所作OX的垂線相交，即得b。

[例2-2] 已知點A（15，10，20），求作三面投影圖。

分析由A （15，10，20）可知，點A與三個投影面均有距離，即點A是既不在投影面上、也不在投影軸上的一般點。

作圖步驟（如圖2-12所示）：

（1）畫出投影軸並標記

（2）在OX軸上取O a=15，得a，見圖2-12a。

（3）過a作OX軸的垂線，並在此垂線上取a a′=20，得a′；取a a=10，得a，見圖2-12b。

（4）作∠YOY的角平分線。過a作H面投影中的OY的垂線使其與角平分線相交，自交點作W面投影中的OY的垂線，與過a′作OZ的垂線交於a″，即得點A的三面投影，見圖2-12c。

二、兩點的相對位置

根據兩點的各個同面投影（即在同、一投影面上的投影）之間的坐標關係，可以判斷空間兩點的相對位置，因為，在投影圖中，空間兩點的相對位置是由它們的各個同面投影所反映的坐標差來確定的。從圖2-13a、b中可以看出，V面投影反映出兩點的上下、左右關係；H面投影反映出兩點的左右、前後關係；W面投影反映出兩點的上下、前後關係。

在圖2-13b 中反映出：點A與點B的左方x—x處，後方y—y處，上方z—z處。

必須注意兩點的前後位置關係是根據兩點在H或W面投影的y坐標差來判斷的，其中y坐標值較大的點在前。如圖2-13b中的y>y，所以點B在前點A在後。

[例2-3] 如圖2-14a所示，已知點A和點B的投影圖，是判斷兩點的空間位置，並畫出其直觀圖。

分析從圖2-14a中可知，點A在點B的左、下、前方。量得x—x=9mm，z—z=11mm，y—y=10mm，所以判定點A在點B左方9mm，下方11mm，前方10mm處。根據點A和點B的投影圖便可畫出直觀圖。

作圖步驟（如圖2-14b所示）：投影體系直觀圖：畫出水平軸OX，過點O作垂直軸OZ，用45°三角板過O作OY軸使∠XOY=135°，過軸OX、OY、OZ軸上分別從圖2-14a中量取A的三個坐標值（x=16mm、y=15mm、z=5mm），從量得的點分別作各相應軸的平行線。即交得a、a′、a″，再由a、a′、a″作相應軸的平行線，三線交於一點，得A，便完成了A極其投影的直觀圖。

（3）畫點B極其投影的直觀圖：用作A的直觀圖相同的步驟就可作出點B極其投影的直觀圖。

三、重影點及其可見性

如圖2-15所示，點C和點D的x、y坐標均相同，z坐標不同。由於點C的z坐標大，可知點C位於點D的正上方，即點C、點D位於同一條對H面的投影線上，它們的水平投影重合在一起。故點C和點D稱為對H面的重影點。同理，由於兩點E、F的x、z坐標均相同，這兩點必位於同一條對V面的投影線上，它們的正面投影重合在一起，所以點E和點F稱為對V面的重影點。由此可知，一對有兩個坐標分別相同的點，必然有一組同面投影重合。這樣一對空間點，稱為對該投影面的重影點。重影點的一組同面投影重合，稱為重影。也就是說，一對重影點必然在它們相同的兩個坐標所確定的投影面上重影。

由於一對有一組同面投影重合，在對該投影面投射時，存在一點遮住另一點的問題，即重合的投影存在著可見不可見的問題。

點C和點D為對H面的重影點，沿著對H面投射線方向觀察，點C的z坐標大於點D的z坐標，則點C遮住了點D，即點C的水平投影可見，點D的水平投影不可見（規定在不可見投影的符號上加括弧），但其正面投影均為可見。

點E和點F為對V面的重影點，沿著對V面的投射線方向觀察，由於點F的y坐標大於點E的y坐標，所以點F遮住了點E。即點F的正面投影可見，點E的正面投影不可見，但其投影均為可見。