一、概述
兩立體表面的交線稱為相貫線，見圖5-14a和b所示的三通管和蓋。三通管是由水平橫放的圓筒與垂直豎放的帶孔圓錐台組合而成。蓋是由水平橫放的圓筒與垂直豎放的帶孔圓錐台、圓筒組合而成。它們的表面（外表面或內表面）相交，均出現了箭頭所指的相貫線，在畫該類零件的投影圖時，必然涉及繪製相貫線的投影問題。
討論兩立體相交的問題，主要是討論如何求相貫線。工程圖上畫出兩立體相貫線的意義，在於用它來完善、清晰地表達出零件各部分的形狀和相對位置，為準確地製造該零件提供條件。
（一）相貫線的性質
由於組成相貫體的各立體的形狀、大小和相對位置的不同，相貫線也表現為不同的形狀，但任何兩立體表面相交的相貫線都具有下列基本性質：
1.共有性
相貫線是兩相交立體表面的共有線，也是兩立體表面的分界線，相貫線上的點一定是兩相交立體表面的共有點。
2.封閉性
由於形體具有一定的空間範圍，所以相貫線一般都是封閉的。在特殊情況下還可能是不封閉的，如圖5-15c所示。
3.相貫線的形狀
平面立體與平面立體相交，其相貫線為封閉的空間折線或平面折線。平面立體與曲面立體相交，其相貫線為由若干平面曲線或平面曲線和直線結合而成的封閉的空間的幾何形。應該指出：由於平面立體與平面立體相交或平面立體與曲面立體相交，都可以理解為平面與平面立體或平面與曲面立體相交的截交情況，因此，相貫的主要形式是曲面立體與曲面立體相交。最常見的曲面立體是迴轉體。兩迴轉體相交，其相貫線一般情況下是封閉的空間曲線（如圖5-15a），特殊情況下是平面曲線（如圖5-15 b）或由直線和平面曲線組成（如圖5-15c ）.
(二)求相貫線的方法、步驟
求畫兩迴轉體的相貫線，就是要求出相貫線上一系列的共有點。求共有點的方法有：面上取點法、輔助平面法和輔助同心球面法。具體作圖步驟為：
（1）找出一系列的特殊點（特殊點包括：極限位置點、轉向點、可見性分界點）；
（2）求出一般點；
（3）判別可見性；
（4）順次連接各點的同面投影；
（5）整理輪廓線。
二、相貫線的作圖方法
（一）面上取點法
當相交的兩迴轉體中有一個（或兩個）圓柱，且其軸線垂直於投影面時，則圓柱面在該投影面上的投影具有積聚性且為一個圓，相貫線上的點在該投影面上的投影也一定積聚在該圓上，而其它投影可根據表面上取點方法作出。
[例5-10] 求軸線正交的兩圓柱表面的相貫線（圖5-16）
兩圓柱的軸線垂直相交，相貫線是封閉的空間曲線，且前後對稱、左右對稱。相貫線的水平投影與垂直豎放圓柱體的圓柱面水平投影的圓重合，其側面投影與水平橫放圓柱體相貫的柱面側面投影的一段圓弧重合。因此，需要求作的是相貫線的正面投影，故可用面上取點法作圖。
作圖步驟（如圖5-16b所示）：
（1）求特殊點（如點A、B、C、D） 由於兩圓柱的正視轉向輪廓線處於同一正平面上，故可直接求得A、B兩點的投影。點A和B是相貫線的最高點（也是最左和最右點），其正面投影為兩圓柱面正視轉向輪廓線的正面投影的交點a′和b′。點C和D是相貫線的最前點和最後點（也是最低點），其側面投影為垂直豎放圓柱面的側視轉向輪廓線的側面投影與水平橫放圓柱的側面投影為圓的交點c″和d″。而水平投影a、b、c和d均在直立圓柱面的水平投影的圓上。由c、d和c″、d″即可求得正面投影上的c′和（d′）。
（2）求一般點（如點Ⅰ、Ⅱ） 先在相貫線的側面投影上取1″和（2″），過點Ⅰ、Ⅱ分別作兩圓柱的素線，由交點定出水平投影1和2。再按投影關係求出1′和2′（也可用輔助平面法求一般點）。
（3）判別可見性，然後按水平投影各點順序，將相貫線的正面投影依次連成光滑曲線。因前後對稱，相貫線正面投影其不可見部分與可見部分重影。相貫線的水平投影和側面投影都積聚在圓上。
軸線正交兩圓柱有三種基本形式，除圖5-16和圖5-17a所示的兩外表面相交外，還有如圖5-17b所示的外表面與內表面相交和圖5-17c 所示的兩內表面相交等形式，這些相貫線的作圖方法都和圖5-16的作圖方法一樣
[例5-11] 求軸線交叉垂直的兩圓柱表面的相貫線（圖5-18）
兩圓柱的軸線彼此交叉垂直，分別垂直於水平面和側面，所以相貫線的水平投影與直立小圓柱面的水平投影的圓重合，側面投影與水平大圓柱面參與相貫的側面投影的一段圓弧重合，因此本題只需求出相貫線的正面投影。由於直立小圓柱面的全部素線都貫穿於水平大圓柱面，且小圓柱軸線位於大圓柱軸線之前，兩個圓柱面具有公共的左右對稱面和上下對稱面，所以相貫線是上、下兩條左右對稱的封閉的空間曲線。此題可用面上取點法（或輔助平面法）作圖。
作圖步驟（如圖5-18b所示）：
（1）求特殊點（如點Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ） 定出小圓柱面正視轉向輪廓線上的點Ⅰ、Ⅱ的水平投影1、2及側面投影1″、2″，從而求出正面投影1′、2′。點Ⅰ、Ⅱ是相貫線上的最左點、最右點。同理，可定出小圓柱面側視轉向輪廓線上的點Ⅲ、Ⅳ的水平投影3、4及側面投影3″、4″，從而求出正面投影3′、4′。點Ⅲ、Ⅳ是相貫線上的最前點、最後點。Ⅲ也是最低點。再定出大圓柱面正視轉向輪廓線上的點Ⅴ、Ⅵ的水平投影5、6及側面投影5″、6″，再求出其正面投影5′、6′。點Ⅴ、Ⅵ是相貫線上的最高點。
（2）求一般點（如點Ⅶ、Ⅷ） 在點Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ之間，任選兩點（如Ⅶ、Ⅷ），定出水平投影7、8，利用大圓柱面積聚為圓的側面投影，先得側面投影7″、（8″）后，由水平投影7、8和側面投影7″、（8″）求得正面投影交點7′、8′。為作圖精確起見，還可以依次求出足夠多的一般點。
（3）判別可見性 判別可見性的原則是：當相貫兩立體表面都可見時，它們的相貫線才是可見的，若兩立體表面之一不可見多兩立體表面均不可見，則相貫線都為不可見。因此，在小圓柱正視轉向輪廓線之前，兩圓柱面均可見，其相貫線為可見，則正面投影上的1′、2′為相貫線正面投影可見與不可見的分界點，曲線段1′（5′）（4′）（6′）2′為不可見，應畫成虛線，曲線段1′7′3′8′2′為可見，應畫成粗實線。
（4）連曲線 參照水平投影個點順序，將各點正面投影依次連成光滑封閉的曲線，即得上端相貫線的正面投影（下端相貫線的正面投影作法與上端相同）。
（5）整理輪廓線 將兩圓柱看成一個整體，大圓柱的正視轉向輪廓線應畫至（5′）及（6′）處，被小圓柱遮住部分應畫成虛線；小圓柱的正視轉向輪廓線應畫至1′及2′處（見放大圖）。
（二）輔助平面法
1.輔助平面法 假設作一輔助平面，使與相貫線的兩迴轉體相交，先求出輔助平面與兩迴轉體的截交線，則兩迴轉體上截交線的交點必為相貫線上的點。如圖5-19所示。若作一系列的輔助平面，便可得到相貫線上的若干點，然後判別可見性，依次光滑連接各點，即為所求的相貫線。
2.輔助平面選擇原則 為了便於作圖，輔助平面應為特殊位置平面並作在兩迴轉面的相交範圍內，同時應使輔助平面與兩迴轉面的截交線的投影都是最簡單易畫的圖形（多邊形多圓）。
3.用輔助平面法求共有點的作圖步驟
（1）作輔助平面；
（2）分別作出輔助平面與兩迴轉面的截交線；
（3）兩迴轉面截交線的交點，即為所求的共有點。
（三）一些典型幾何形狀的相貫線
[例5-12] 求軸線正交的圓柱與圓錐台的相貫線（圖5-20）
如圖5-20所示。圓柱和圓錐台的軸線垂直相交，相貫線為一封閉的空間曲線。由於圓柱軸線是側垂線，則圓柱的側面投影是有積聚性的圓，所以相貫線的側面投影與此圓重合，需要求的是相貫線的正面投影的水平投影。由於圓錐台軸線垂直水平面，所以採用水平面作為輔助平面。
作圖步驟（如圖5-20b所示）：
（1）求特殊點 相貫線的最高點Ⅰ和最低點Ⅱ分別位於水平橫放圓柱和圓錐台的正視轉向輪廓線上，所以在正面投影中其交點1′、2′可以直接求出。由1′、2′可求得側面投影1″、2″和水平投影1、2。相貫線的最前點Ⅲ和最後點Ⅳ，分別位於水平圓柱最前和最後兩條俯視轉向輪廓線上，其側面投影3″、4″可直接求出。水平投影3、4可過圓柱軸線作水平面P
求出（P與圓柱和圓錐台的截交線在水平投影上的交點），由3、4和3″、4″可求得正面投影3′、（4′）。
（2）求一般點 做輔助水平面P
。平面P
與圓錐台的截交線為圓，與圓柱的截交線為兩平行直線。兩截交線的交點Ⅴ、Ⅵ即為相貫線上的點。求出兩截交線的水平投影，則它們的交點5、6即為相貫線上點Ⅴ、Ⅵ的水平投影。其側面投影5″、6″積聚在P
上，正面投影5′、6′積聚在P
上。再作輔助水平面P
，又可求出相貫線上Ⅶ、Ⅷ兩點的側面投影7″、8″和水平投影（7）、（8）和側面投影7″、8″可求得正面投影7′、（8′）。
（3）判別可見性 水平投影中在下半個圓柱面上的相貫線是不可見的，3、4兩點是相貫線水平投影的可見與不可見的分界點。正面投影中相貫線前、後部分的投影重合，即可見與不可見的投影互相重合。
（4）連曲線 參照各點側面投影的順序，將各點的同面投影連成光滑的曲線。正面投影中可見點1′、5′、3′、7′、2′連成粗實線，水平投影中可見點3、5、1、6、4連成粗實線，不可見點4、（8）、（2）、（7）、3各點連成虛線。
（5）整理外形輪廓線 在水平投影中，圓柱的俯視轉向輪廓線應畫到3、4點為止。
此題也可用面上取點法求解，讀者可自行試解。
[例5-13] 求圓錐台與半球的相貫線（圖5-21）。
由圖5-21a中可以看出：圓錐台的軸線不通過球心，但它們具有平行於正面的公共的對稱面。因此，相貫線是一條前後對稱的封閉的空間曲線。錐面、球面的個投影都無積聚性，故相貫線的各個投影都需要通過選用合適的輔助平面求解。
作圖步驟（如圖5-21b～f所示）：
（1）求特殊點 如圖5-21b所示，由於圓錐台的軸線與半球鉛垂方向的軸線平行，並與圓錐台、半球的正視轉向輪廓線處於同一正平面內，故可用包含圓錐軸線和圓球軸線所決定的正平面（即它們的前後公共對稱面）作為輔助平面S，它與圓錐面交於兩條正視轉向輪廓線，與球面交於一條正視轉向輪廓線，兩者交於Ⅰ、Ⅱ兩點，即為所求的處於二者正視轉向輪廓線上的點。現可由其正面投影交點1′、2′，求得水平投影1、2和側面投影1″、（2″）。Ⅰ、Ⅱ兩點分別為相貫線上的最低點和最高點，也是最左點和最右點（注意：僅有這一個正平面可作輔助正平面？為什麼？請讀者思考）
再經包含圓錐台的軸線作一側平面P 為輔助平面，如圖5-21c所示，它與圓錐面交於兩條側視轉向輪廓線，它與圓球面的交線為平行與側面的圓，兩線交於Ⅲ、Ⅳ兩點，即為所求圓錐面的側視轉向輪廓線上的點。如圖5-21b即由其側面投影交點3″、4″求得正面投影3′、（4′）和水平投影3、4（同樣，這裡也僅有這個側平面可作輔助側平面）。
（2）求一般點 如圖5-21d、e所示，由於圓錐台的軸線垂直於水平面，用水平面作輔助平面，則它與圓錐台、圓球的截交線均為水平圓周，故在點Ⅰ、Ⅲ之間作輔助水平面Q
（Q
、Q），它與圓錐面及球面的截交線分別為圓M及L，兩者交於Ⅴ、Ⅵ。即先得水平投影中的交點5、6，從而求得5′、（6′）和5″、6″。同理，可作一系列輔助水平，求得相貫線上足夠多的一般點，如再作Q2v可求出7、8，從而求出7′、（8′）及（7″）、（8″）；只有先畫出相貫線的正面投影，並令它與圓球的側視轉向輪廓線N（n、n′、n″）的正面投影n′相交，才能求出9′、（10′），從而求出（9″）、（10″）及9、10。點Ⅸ、Ⅹ是相貫線與半球側視轉向輪廓線N的交點，也是半球側視轉向輪廓線與圓錐面的交點。
（3）判別可見性 在水平投影中，相貫線都是可見的。按可見性原則可知，屬於圓錐台左半部一段可見相貫線的側面投影4″、6″、1″、5″、3″曲線段畫成粗實線，3″、4″為側面投影可見與不可見的分界點，應把不可見的側面投影4″（8″）（10″）（2″）（9″）（7″）3″曲線段畫成虛線。
（4）連曲線 如圖5-21f所示，將正面投影中可見點1′5′3′7′9′2′連成光滑曲線。然後依次光滑連接各點的水平投影和側面投影。
（5）整理輪廓線 在正面投影中，圓錐台和半球 的正視轉向輪廓線應分別畫到1′、2′處為止。在側面投影中，圓錐台的側視轉向輪廓線的側面投影只畫到3″、4″處；半球的側視轉向輪廓線n″只畫到（9″）、（10″）處為止，其中被圓錐台遮住的部分應畫成虛線。
當兩相交迴轉體，其兩軸線相交時，可用交點為球心作輔助球面，分別與兩迴轉體相交的相貫線均為圓，這兩個圓因位於同一球面上，彼此相交，兩圓的交點是兩迴轉體表面上的共有點，即相貫線上的點，同理可求得相貫線上若干點，此方法稱為輔助球面法，本書不另闡述。
三、相貫線的特殊情況
兩回體相交，在一般情況下相貫線是空間曲線，但在特殊情況下相貫線也困難是平面曲線或直線。下面介紹幾種常見的情況。
（1）同軸的兩迴轉體相交，相貫線是垂直於軸線的圓，如圖5-22a、b、c。當軸線平行於某一投影面時，其相貫線在該投影面上的投影積聚成一直線。如圖5-22a、b、c。
（2）切於同一球面的兩迴轉體相交（圓柱與圓柱、圓柱與圓錐、圓錐與圓錐），其相貫線為兩個相交的垂直於公共對稱面的橢圓。舉例如下：
①當兩圓柱軸線相交、直徑相等、同切於一球面時，其相貫線為兩個大小相等的橢圓，如圖5-23a所示。在這種情況下兩個橢圓的正面投影積聚為相交兩直線，水平投影和側面投影均積聚為圓。
②當圓柱與圓錐台的軸線相交，且同切於一球面時，其相貫線為兩個大小相等的橢圓，如圖5-23b所示。在這種情況下兩個橢圓的正面投影積聚為兩相交直線，水平投影仍為橢圓，側面投影積聚為圓。
（3）軸線相互平行的兩圓柱相交，兩圓柱面上的相貫線是兩條平行於軸線的直線，如圖5-24所示。
四、相貫線投影的彎曲趨向和變化情況
相貫線投影的彎曲趨向隨相貫的兩迴轉體的種類變化、尺寸變化和相對位置的變化而不同。表5-3所示是尺寸變化對相貫線形狀的影響。表中左圖的相貫線的正面投影為左右兩條曲線（空間曲線），中圖的相貫線的正面投影為上下兩條曲線（空間曲線），右圖的相貫線的正面投影為兩條直線（平面曲線）。
表5-4是相對位置變化對相貫線形狀影響的實例。表5-4中各圖圓柱面和圓錐面尺寸大小不變，但因其軸線的相對位置不同，故相貫線的形狀也隨之而有變化。
除表5-3、表5-1的例子外，還常見兩圓柱的軸線由垂直相交逐漸變為垂直交叉，相貫線從兩條空間曲線也逐漸變為一條空間曲線的情況，如圖5-25所示。圖5-25a和b所示為兩條空間曲線，圖5-25c、d和e所示為一條空間曲線。
