摘要 基於有限變形虛功率增量型原理的彈塑性大變形有限元理論，建立了高精度的八節點四邊形單元平面應變狀態下的截面分析模型，並應用非均勻有理B樣條曲線描述模具截麵線進行接觸判斷。旨在用很短的計算時間，獲得較理想的板料衝壓成形的模擬結果。方模具圓坯料脹形和深拉延成形過程以及發動機油底殼深拉延的模擬與試驗結果，表明了該截面分析技術的正確性、可行性和高效性。
敘詞：截面分析 四邊形單元 平面應變 接觸判斷
前言
目前，板材衝壓成形過程的數值技術已取得了很大的進展。根據有限元模擬技術預示的成形載荷、板材的幾何變形、應力應變分佈和加工條件，調整模具的幾何形狀、材料等級或邊界條件，從而改進模具設計。絕大多數衝壓過程應用三維模型來分析，然而這種總體分析將面臨許多技術障礙，如大量的計算時間，繁雜的工具數據前處理以及未知的邊界條件等。然而，複雜衝壓件的許多局部變形常常可以近似地採用平面應變的截面分析方法對成形過程加以模擬，而且這種截面分析方法所需的數據量極少，在有效的精度範圍內能更快、更穩定地對模具設計的合理性給出定量的評價。早在1980年，Hughes和Liu就給出了一個總的二維問題的非線性有限元公式。經過多年的研究，1991年Keum、Wang、Saran和Wagoner編寫的有限元程序應用線單元模擬了任意形狀的平面應變截面深拉或脹形的成形過程。
本文基於有限變形虛功率增量型原理的彈塑性大變形有限元理論，建立了比線單元精度更高的八節點四邊形單元平面應變狀態的截面分析模型，用三次B一樣條曲線描述凸、凹模模具截面的幾何形狀，界面滑動應用庫侖摩擦定律，進而實現模具表面與板料之間的接觸判斷。該模型可在很短的時間內，經過少量的數據處理，得到較理想的板料成形的模擬結果。文末用該模型數值模擬了金屬板料成形過程中的塑性流動規律，並將計算結果與試驗結果或三維有限元程序的計算結果進行了比較，證實了這種平面應變的截面分析技術的正確性、可行性和高效性。
1 有限元模型的建立
採用逐級更新Lagrange法，在xi坐標下以t時刻構形為參考構形的虛功率增率原理為 (1) 式中 V，A——參考構形的體積和表面積
——參考構形的面積力率和體積力率
——第一類Kirchhoff應力率假定塑性變形體積不可壓縮，則有 (2) 式中 σij,J——xi坐標下Cauchy應力σij的Jaumann速率
σij,J與Cauchy應變速率的本構關係可一般性地寫成下式 (3)
對於平面應變模型，不妨假定材料為各向同性，則Dijkl可以寫成 (4) 式中 σ′ij——Cauchy應力偏量
H′*，μ*,E*——材料參數
取不同的表達方法，將對應於不同的塑性本構理論，本文採用的是“擬流動角點理論”。將式(2)和式(3)引入式(1)，得 (5) 式中 (6)
將式(6)代入式(5)並離散化，可得單元剛度方程。
2 接觸判斷與摩擦約束
模具的截面曲線是由非均勻有理B樣條(NURBS)曲線來描述的。給定控制頂點位置矢量di，i＝0，1，
…，n，次數k及確定節點的參數矢量u＝［u0,u1,…，un+k+1］，就定義了一條k次B樣條曲線。如若給出曲線定義域內一參數值u∈［ui,ui+1］［uk,un+1］，欲計算該B樣條曲線上對應一點位置矢量p(u)，採用德布爾演算法
(7)
模具的截麵線是由若干段非均勻有理B樣條曲線來描述的。每段B樣條曲線採用疏密不同的點，即可以更好的描述模具的危險截面，又可以提高接觸判斷的效率。
所謂接觸判斷就是求出板料上的節點與模具表面的接觸點。根據模具不可穿透原則，對於計算後進入模具的點，必須拉回到模具表面上來。截面分析採用八節點四邊形單元，節點的拉回方向為板料的法線方向，並求出平均外法線與B樣條曲線的交點。首先要確定外法線與哪一段B樣條曲線相交，稱這一段B樣條曲線為目標曲線。在每一步接觸判斷中，具體的工作就集中在求節點的外法線與目標曲線的交點。再將節點坐標調整到交點處，就完成了接觸判斷的幾何調整。
對於已經接觸到模具的節點，增量步內的位移不再是自由位移，該節點必須沿著模具表面滑動，在模具表面的截面上，板料節點i的x方向的位移增量Δuxi與y方向的位移增量Δuyi存在下列約束關係 Δuyi＝kiΔuxi+Δy (8) 式中 Δy——該增量步內模具的位移
ki——模具截麵線與節點i的接觸點的斜率如圖1a所示。 圖1
在衝壓問題中，板料與模具接觸併發生了界面滑動，必然存在界面滑動摩擦。現建立簡化的力學模型，如圖1b所示。t為板料節點N在模具的接觸點與模具相切的方向矢量，即為B樣條曲線的一階導矢，由於節點N沿沖頭滑動，則滑動切向方向矢量t與節點N的滑動速度無關。採用庫侖摩擦定律，有 Ff＝μFn (9) 則在笛卡爾坐標系下，節點N的切向摩擦力為 Ft＝Fft (10) 且可表示為 Ft＝(-Fn2，Fn1) (11) 式中 Fn2，Fn1——Ft在x軸和z軸上的投影
3 截面分析數值算例
3.1 方沖頭圓坯料成形過程的模擬
方沖頭衝壓圓形坯料(如圖2)，現截取截面A進行截面分析。材料的物理參數見表1。 圖2 方沖頭成形的結構與尺寸和板料平面視圖 表1 庫侖摩擦係數μ 彈性模量E/GPa 泊松比γ 屈服點σs/MPa 硬化準則 硬化指數n 板料厚度δ/mm 0.15 200 0.3 147.9 σ＝cεn 0.2 1.0
對於脹形問題，板料四周為固定約束，取單元數為120，節點數為603。計算結果與文獻［6］採用三維厚曲殼單元的模擬結果幾乎重合，而前者模擬的計算時間僅為後者的7%，計算得到的應變分佈如圖3a所示。對於深拉延問題，板料四周受拉深筋阻力約束。採用平面應變等效拉伸筋阻力模型［7］，取單元數為160，節點數為803。計算結果與試驗結果［2］相比較，其中應變分布圖如圖3b所示。計算結果表明：截面分析方法不僅具有高效率，而且可以獲得令人滿意的模擬結果。 圖3 註：■——上表面值 ×——下表面值 — ——平均值 □——試驗值
3.2 發動機油底殼橫截面成形過程的模擬
油底殼是汽車覆蓋件衝壓成形中典型的深
拉延件。取油底殼的一個危險截面，位置如圖4a箭頭所示，截面的幾何形狀如圖4所示。坯料的物理參數如表2。 圖4 表2 庫侖摩擦係數μ 彈性模量E/GPa 泊松比γ 屈服點σs/MPa 硬化準則 硬化指數n 板料厚度δ/mm 0.1 207 0.3 147.9 σ＝Kεn 0.2 1.0
油底殼的成形過程為拉深過程，邊界條件為拉伸筋阻力。仍採用平面應變等效拉伸筋阻力模型［7］，將坯料劃分成500單元，節點數為2503。若採用三維曲殼單元，需劃分整個油底殼成形坯料為16570個節點。在DEC/433工作站上分別進行計算。兩者的計算時間相差近20倍，前者僅需十幾min即可完成全部模擬過程。計算得到的等效應變分佈如圖5a所示。板料厚度分佈如圖5b所示。將試驗的油底殼衝壓件採用激光切割方法按計算選取的截面切割開來，圖中的.號為實測得到的變形終了的厚度。 圖5 ——截面分析方法的模擬結果 ——三維殼單元的模擬結果 .——試驗點
4 結論
基於有限變形虛功率增量型原理建立的八節點四邊形彈塑性大變形二維截面分析有限元模型，模擬了方盒典型件脹形和深拉延及油底殼的深拉延成形過程。通過計算結果與試驗結果相比較，可以得出以下結論：
(1)對邊界條件明顯且近似滿足平面應變的截面，本方法可以比較精確的模擬其成形過程；對不完全滿足平面應變條件的截面，也可以得到較嚴格的結果。
(2)本模型有良好的求解效率，可在相當短的時間內完成油底殼橫截面的分析過程，從而大大提高了板料成形性的分析效率。
(3)採用八節點四邊形單元，可以考慮板料上下表面的不同應力、應變情況，在保證求解效率的前提下，其計算精度要高於膜單元的二維截面分析。
