式中x—沿作用線上齒輪的相對位移；
c —齒輪嚙合阻尼；
k（t）—齒輪嚙合剛度；
T1，T2—作用於齒輪上的扭矩；
r2—齒輪的節圓半徑；
i—齒輪副的傳動比；
e（t）—由於輪齒變形和誤差及故障而造成的個齒輪在作用線方向上的相對位移；
mr —換算質量。
圖1 齒輪副力學模型
mr=m1m2/(m1+m2) （1-2）
若忽略齒面摩擦力的影響，則(T2-iT1)/r2=0，將e（t）分解為兩部分：
e(t)=e1+e2(t) （1-3）
e1為齒輪受載后的平均靜彈性變形；e2(t) 為由於齒輪誤差和故障造成的兩個齒輪間的相對位移，故也可稱為故障函數。這樣式(1-1)可簡化為
（1-4）
由式(1-4)可知，齒輪的振動為自激振動。該公式的左側代表齒輪副本身的振動特徵，右側為激振函數。由激振函數可以看出，齒輪的振動來源於兩部分：一部分為k（t）e1，它與齒輪的誤差和故障無關，所以稱為常規振動；另一部分為k（t)e2(t) ,它取決於齒輪的綜合剛度和故障函數，這一部分可以較好地解釋齒輪信號中邊頻的存在以及與故障的關係。
式(1-4)中的齒輪嚙合剛度k(t)為周期性的變數，由此可見齒輪的振動主要是由k（t）的這種周期變化引起的。
k(t)的變化可用兩點來說明：一是隨著嚙合點位置的變化，參加嚙合的單一輪齒的剛度發生了變化，二是參加嚙合的齒數在變化。例如對於重合係數在1-2之間的漸開線直齒輪，在節點附近是單齒嚙合，在節線兩側某部位開始至齒頂、齒根區段為雙齒嚙合（圖2）。顯然，在雙齒嚙合時，整個齒輪的載荷由兩個齒分擔，故此時齒輪的嚙合剛度就較大；同理，單齒嚙合時嚙合剛度較小。
圖2 齒面受載變化 圖3 嚙合剛度變化曲線
從一個輪齒開始進入嚙合到下一個輪齒進入嚙合，齒輪的嚙合剛度就變化一次。由此可計算出齒輪的嚙合周期和嚙合頻率。總的來說，齒輪的嚙合剛度變化規律取決於齒輪的重合係數和齒輪的類型。直齒輪的剛度變化較為陡峭，而斜齒輪或人字齒輪剛度變化較為平緩，較接近正弦波（圖3)。
若齒輪副主動輪轉速為n1、齒數為Z1；從動輪轉速為n2、齒數為Z2，則齒輪嚙合剛度的變化頻率（即嚙合頻率）為
（1-5）
無論齒輪處於正常或異常狀態下，這一振動成分總是存在的。但兩種狀態下振動水平是有差異的。因此，根據齒輪振動信號嚙合頻率分量進行故障診斷是可行的。但由於齒輪信號比較複雜，故障對振動信號的影響也是多方面的，特別是由於幅值調製和頻率調製的作用，齒輪振動頻譜上通常總是存在眾多的邊頻帶結構，給利用振動信號進行故障診斷帶來一定的困難。
二、幅值調製與頻率調製
齒輪振動信號的調製現象中包含有很多故障信息，所以研究信號調製對齒輪故障診斷是非常重要的。從頻域上看，信號調製的結果是使齒輪嚙合頻率周圍出現邊頻帶成分。信號調製可分為兩種：幅值調製和頻率調製。
1．幅值調製
幅值調製是由於齒面載荷波動對振動幅值的影響而造成的。比較典型的例子是齒輪的偏心使齒輪嚙合時一邊緊一邊松，從而產生載荷波動，使振幅按此規律周期性地變化。齒輪的加工誤差（例如節距不勻）及齒輪故障使齒輪在嚙合中產生短暫的「載入」和「卸載」效應，也會產生幅值調製。
幅值調製從數學上看，相當於兩個信號在時域上相乘；而在頻域上，相當於兩個信號的卷積，如圖4所示。這兩個信號一個稱為載波，其頻率相對來說較高；另一個稱為調製波，其頻率相對於載波頻率來說較低。在齒輪信號中，嚙合頻率成分通常是載波成分，齒輪軸旋轉頻率成分通常是調製波成分。
圖4 單一頻率的幅值調製
若xc(t)=Asin(2πfct+φ)為齒輪嚙合振動信號，a(t)=1+Bcos2πfZt為齒輪軸的轉頻振動信號，則調幅后的振動信號為
x(t)=A(1+Bcos2πfXt)sin(2πfct+φ) （1-6）
式中A—為振幅；
B—幅值調製指數；
fz—調製頻率，它等於齒輪的旋轉頻率。
上述調製信號在頻域可表示為
|x(f)׀=Aδ(f-fc)+1/2ABδ(f-fc-fZ)+1/2AB(f-fc+fZ) （1-7）
由此可見，調製后的信號中，除原來的嚙合頻率分量外，增加了一對分量（fc＋fz）和(fc一fz）它們是以fC為中心，以fz為間距對稱分佈於兩側，所以稱為邊頻帶（圖1-7).
對於實際的齒輪振動信號，載波信號、調製信號都不是單一頻率的，一般來說都是周期函數。由式（1-4)可知，一般情況下，k(t)e2(t)可以反映由故障而產生的幅值調製。
設y(t)=k(t)e2(t) （1-8）
則k (t)為載波信號，它包含有齒輪嚙合頻率及其倍頻成分，e2(t )為調幅信號，反映齒輪的誤差和故障情況。由於齒輪周而復始地運轉，所以齒輪每轉一圈，e2(t )就變化一次，e2(t )包含齒輪軸旋轉頻率及其倍頻成分。
在時域上，y(t)=k(t)e2(t) （1-9）
在頻域上，Sy(f)=SK(f)*Se(f) （1-10）
式中,,Sy（f）,Sk(f)和Se(f）分別為y(t),k（t）和e2(t )的頻譜。由於在時域上載波信號k(t)和調幅信號e2（t)為相乘，在頻域上調製的效果相當於它們的幅值頻譜的卷積。即近似於一組頻率間隔較大的脈衝函數和一組頻率間隔較小的脈衝函數的卷積，從而在頻譜上形成若干組圍繞嚙合頻率及其倍頻成分兩側的邊頻族（圖5）。
由此可以較好地解釋齒輪集中缺陷和分佈缺陷產生的邊頻的區別。圖6(a)為齒輪存在局部缺陷時的振動波形及頻譜。這時相當於齒輪的振動受到一個短脈衝的調製，脈衝長度等於齒輪的旋轉周期。由此形成的邊頻帶數量多且均勻。
圖6(b）為齒輪存在分佈缺陷的情形。由於分佈缺陷所產生的幅值調製較為平緩，由此形成的邊頻帶比較高而且窄。並且，齒輪上的缺陷分佈越均勻，頻譜上的邊頻帶就越高、越集中。
圖5 齒輪頻譜上邊頻帶的形成
圖6 齒輪缺陷分佈對邊頻帶的影響
2．頻率調製
齒輪載荷不均勻、齒距不均勻及故障造成的載荷波動，除了對振動幅值產生影響外，同時也必然產生扭矩波動，使齒輪轉速產生波動。這種波動表現在振動上即為頻率調製（也可以認為是相位調製）。對於齒輪傳動，任何導致產生幅值調製的因素也同時會導致頻率調製。兩種調製總是同時存在的。對於質量較小的齒輪副，頻率調製現象尤為突出。
頻率調製即使在載波信號和調製信號均為單一頻率成分的情況下，也會形成很多邊頻成分。若載波信號為Asin(2πfct+φ)調製信號為βsin(2πfZt)則頻率調製后的信號為
f(t)=Asin［2πfct+βsin(2πfZt)+φ］ （1-11）
式中 A—振幅；
fc—載波振率；
fz—調製頻率；
β—調製指數，等於由調製產生的最大相位移；
φ—初相角。
上式可以用貝塞爾（Besser）函數展開，得到調頻信號的特性：調頻的振動信號包含有無限多個頻率分量，並以嚙合頻率 fc為中心，以調製頻率 fz為間隔形成無限多對的調製邊帶（圖7）。
圖7 頻率調製及其邊帶
相位調製具有和頻率調製相同的效果。事實上，所有的相位調製也可以看作頻率調製，反之亦然。
對於齒輪振動信號而言，頻率調製的原因主要是由於齒輪嚙合剛度函數由於齒輪加工誤差和故障的影響而產生了相位變化，這種相位變化會由於齒輪的旋轉而具有周期性。因此在齒輪信號頻率調製中，載波函數和調製函數均為一般周期函數，均包含基頻及其各階倍頻成分。調製結果是在各階嚙合頻率兩側形成一系列邊頻帶。邊頻的間隔為齒輪軸的旋轉頻率fz，邊頻族的形狀主要取決於調製指數β。
3．齒輪振動信號調製特點
齒輪振動信號的頻率調製和幅值
