普通圓柱蝸桿傳動承載能力計算

(一)蝸桿傳動的失效形式、設計準則及常用材料
和齒輪傳動一樣，蝸桿傳動的失效形式也有點蝕(齒面接觸疲勞破壞)、齒根折斷、曲面膠合及過度磨損等。由於材料和結構上的原因，蝸桿螺旋齒部分的強度總是高於蝸輪輪齒的強度，所以失效經常發生在蝸輪輪齒上。因此，一般只對蝸輪輪齒進行承載能力計算。由於蝸桿與蝸輪齒面間有較大的相對滑動，從而增加了產生膠合和磨損失效的可能性，尤其在某些條件下(如潤滑不良),蝸桿傳動因齒面膠合而失效的可能性更大。因此，蝸桿傳動的承載能力往往受到抗膠合能力的限制。
在開式傳動中多發生齒面磨損和輪齒折斷，因此應以保證齒根彎曲疲勞強度作為開式傳動的主要設計準則。
在閉式傳動中，蝸桿副多因齒面膠合或點蝕而失效。因此，通常是按齒面接觸疲勞強度進行設計，而按齒根彎曲疲勞強度進行校核。此外，閉式蝸桿傳動，由於散熱較為困難，還應作熱平衡核算。
由上述蝸桿傳動的失效形式可知，蝸桿、蝸輪的材料不僅要求具有足夠的強度，更重要的是要具有良好的磨合和耐磨性能。
蝸桿一般是用碳鋼或合金鋼製成。高速重載蝸桿常用15Cr或20Cr，並經滲碳淬火；也可用40、45號鋼或40Cr並經淬火。這樣可以提高表面硬度，增加耐磨性。通常要求蝸桿淬火后的硬度為40～55HRC，經氮化處理后的硬度為55～62HRC。一般不太重要的低速中載的蝸桿，可採用40或45號鋼，並經調質處理，其硬度為220～300HBS。
常用的蝸輪材料為鑄造錫青銅(ZCuSnlOPl，ZCuSn5Pb5Zn5)、鑄造鋁鐵青銅(ZCuAl10Fe3)及灰鑄鐵(HTl5O、HT2OO)等。錫青銅耐磨性最好，但價格較高，用於滑動速度Vs≥3m/s的重要傳動；鋁鐵青銅的耐磨性較錫青銅差一些，但價格便宜，一般用於滑動速度Vs≤4m/s的傳動；如果滑動速度不高(Vs<2m/s)，對效率要求也不高時，可採用灰鑄鐵。為了防止變形，常對蝸輪進行時效處理。

(二)蝸桿傳動的受力分析

蝸桿傳動的受力分析和斜齒圓柱齒輪傳動相似。在進行蝸桿傳動的受力分析時，通常不考慮摩擦力的影響。

圖<蝸桿傳動的受力分析>所示是以右旋蝸桿為主動件，並沿圖示的方向旋轉時，蝸桿螺旋面上的受力情況。設Fn為集中作用於節點P處的法向載荷，它作用於法向截面Pabc內(圖<蝸桿傳動的受力分析>a)。Fn可分解為三個互相垂直的分力，即圓周力Ft、徑向力Fr和軸向力Fa。顯然，在蝸桿與蝸輪間，相互作用著Ft1與Fa2、Fr1與Fr2和Fa1與Ft2 這三對大小相等、方向相反的力(圖<蝸桿傳動的受力分析>c)。

圖<蝸桿傳動的受力分析>

在確定各力的方向時，尤其需注意蝸桿所受軸向力方向的確定。因為軸向力的方向是由螺旋線的旋向和蝸桿的轉向來決定的,如圖<蝸桿傳動的受力分析>a所示，該蝸桿為右旋蝸桿，當其為主動件沿圖示方向(由左端視之為逆時針方向)迴轉時，如圖<蝸桿傳動的受力分析>b所示，蝸桿齒的右側為工作面(推動蝸輪沿圖c所示方向轉動),故蝸桿所受的軸向力Fa1(即蝸輪齒給它的阻力的軸向分力)必然指向左端(見圖<蝸桿傳動的受力分析>c下部)。如果該蝸桿的轉向相反，則蝸桿齒的左側為工作面(推動蝸輪沿圖c所示方向的反向轉動),故此時蝸桿所受的軸向力必指向右端。至於蝸桿所受圓周力的方向，總是與它的轉向相反的；徑向力的方向則總是指向軸心的。關於蝸輪上各力的方向，可由圖<蝸桿傳動的受力分析>c所示的關係定出

當不計摩擦力的影響時，各力的大小可按下列各式計算：

式中：T1、T2—分別為蝸桿及蝸輪上的公稱轉矩；
　d1、d2—分別為蝸桿及蝸輪的分度圓直徑。

(三)蝸桿傳動強度計算

l．蝸輪齒面接觸疲勞強度計算
蝸輪齒面接觸疲勞強度計算的原始公式仍來源於赫茲公式。接觸應力

式中: Fn—嚙合齒面上的法向載荷，N；
　L0—接觸線總長，mm；
　K—載荷係數；
　ZE—材料的彈性影響係數，，青銅或鑄鐵蝸輪與鋼蝸桿配對時，取ZE=160 。

將以上公式中的法向載荷Fn換算成蝸輪分度圓直徑d2與蝸輪轉矩T2的關係式，再將d2、L0、ρ∑等換算成中心距的函數后，即得蝸輪齒面接觸疲勞強度的驗算公式為

式中：Zρ—蝸桿傳動的接觸線長度和曲率半徑對接觸強度的影響係數，簡稱接觸係數，可從圖<圓柱蝸桿傳動的接觸係數>中查得。

圖<圓柱蝸桿傳動的接觸係數>

K—載荷係數，K=KAKβKv，其中KA為使用係數，查下表<使用係數KA>； Kβ為齒向載荷分佈係數,當蝸桿傳動在平穩載荷下工作時，載荷分佈不均現象將由於 工作表面良好的磨合而得到改善，此時可取Kβ=1；當載荷變化較大，或有衝擊、振動時，可取Kβ=1.3～1.6；Kv為動載係數，由於蝸桿傳動一般較平穩，動載荷要比齒輪傳動的小得多，故Kv值可取定如下:對於精確製造，且蝸輪圓周速度v2≤3m/s時，取Kv=1.0～1.1； v2>3m/s時，Kv=1.1～1.2 。

[σ]H—蝸輪齒面的許用接觸應力。

使用係數KA

若蝸輪材料為強度極限σB<300MPa的錫青銅，因蝸輪主要為接觸疲勞失效，故應先從表<鑄錫青銅蝸輪的基本許用接觸應力>中查出蝸輪的基本許用接觸應力[σ]H '，再接[σ]H =KHN·[σ]H ' ，算出許用接觸應力的值。上面KHN為接觸強度的壽命係數。其中，應力循環次數N=60jn2Lh，此處n2為蝸輪轉速，r/min；Lh為工作壽命，h；j為蝸輪每轉一轉，每個輪齒嚙合的次數。

灰鑄鐵及鑄鋁鐵青銅蝸輪的許用接觸應力[σ]H(MPa)

鑄錫青銅蝸輪的基本許用接觸應力[σ]H'(MPa)

注: 錫青銅的基本許用接觸應力為應力循環次數N=時之值，當N≠時，需將表中數值乘以壽命係數KHN；當N>25×時，取N=25×；當N<2.6×時，取N=2.6×。

從蝸輪齒面接觸疲勞強度的驗算公式中可得到按蝸輪接觸疲勞強度條件設計計算的公式為
　
從上式算出蝸桿傳動的中心距a后，可根據預定的傳動比i(z2/z1)從表<普通圓柱蝸桿基本尺寸和參數及其與蝸輪參數的匹配>中選擇一合適的a值，以及相應的蝸桿、蝸輪的參數。

普通圓柱蝸桿基本尺寸和參數及其與蝸輪參數的匹配

　註：1）本表中導程角γ小於3°30′的圓柱蝸桿均為自鎖蝸桿。
　2）括弧中的參數不適用於蝸桿頭數z1＝6時。
　3）本表摘自GB10085－1988。

  2.蝸輪齒根彎曲疲勞強度計算
蝸輪輪齒因彎曲強度不足而失效的情況，多發生在蝸輪齒數較多(如z2>90時)或開式傳動中。因此，對閉式蝸桿傳動通常只作彎曲強度的校核計算，但這種計算是必須進行的。因為校核蝸輪輪齒的彎曲強度決不只是為了判別其彎曲斷裂的可能性，對那些承受重載的動力蝸桿副，蝸輪輪齒的彎曲變形量還要直接影響到蝸桿副的運動平穩性精度。由於蝸輪輪齒的齒形比較複雜，要精確計算齒根的彎曲應力是比較困難的，所以常用的齒根彎曲疲勞強度計算方法就帶有很大的條件性。通常是把蝸輪近似地當做斜齒圓柱齒輪來考慮，於是得蝸輪齒根的彎曲應力為

　
式中: —蝸輪輪齒弧長，, 其中θ為蝸輪齒寬角(參看圖<普通圓柱蝸桿傳動的基本幾何尺寸>)，按表<普通圓柱蝸桿傳動基本幾何尺寸計算關係式普通圓柱蝸桿傳動基本幾何尺寸計算關係式>中的公式計算；

圖<普通圓柱蝸桿傳動的基本幾何尺寸>

普通圓柱蝸桿傳動基本幾何尺寸計算關係式 名稱 代號 計算關係式 說明 中心距 a a=(d1+d2+2x2m)/2 按規定選取 蝸桿頭數 z1   按規定選取 蝸桿齒數 z2   按傳動比確定 齒形角 α αa=20°或αn=20° 按蝸桿類型確定 模數 m m=ma=mn/cosγ 按規定選取 傳動比 i i=n1/n2 蝸桿為主動，按規定選取 齒數比 u u=z2/z1當蝸桿主動時，i=u   蝸輪變位係數 x2   蝸桿直徑係數 q q=d1/m   蝸桿軸向齒距 pa pa=πm   蝸桿導程 pz pz=πmz1   蝸桿分度圓直徑 d1 d1=mq 按規定選取 蝸桿齒頂圓直徑 da1 da1=d1+2ha1=d1+2m   蝸桿齒根圓直徑 df1 df1=d1-2hf1=d1-2(m+c)   頂隙 c c=m 按規定 漸開線蝸桿基圓直徑 db1 db1=d1·tanγ/tanγb=mz1/tanγb   蝸桿齒頂高 ha1 ha1=·m=0.5(da1-d1) 按規定 蝸桿齒根高 hf1 hf1=(+)m=0.5(d1-df1)   蝸桿齒高 h1 h1=ha1+hf1=0.5(da1-df1)   蝸桿導程角 γ tgγ=mz1/d1=z1/q   漸開線蝸桿基圓導程角 γb cosγb=cosγcosαn   蝸桿齒寬 b1 見下表 由設計確定 蝸輪分度圓直徑 d2 d2=mz2=2a-d1-2x2m   蝸輪喉圓直徑 da2 da2=d2+2ha2   蝸輪齒根圓直徑 df2 df2=d2-2hf2   蝸輪齒頂高 ha2 ha2=0.5(da2-d2)=m(+x2)   蝸輪齒根高 hf2 hf2=0.5(d2-df2)=m(-x2+)   蝸輪齒高 h2 h2=ha2+hf2=0.5(da2-df2)   蝸輪咽喉母圓半徑 rg2 rg2=a-0.5da2   蝸輪齒寬 b2   由設計確定 蝸輪齒寬角 θ θ＝2arcsin(b2/d1)   蝸桿軸向齒厚 sa sa＝0.5πm   蝸桿法向齒厚 sn sn=sa·cosγ   蝸輪齒厚 st 按蝸桿節圓處軸向齒槽寬ea'確定   蝸桿節圓直徑 d1' d1'=d1+2x2m=m(q+2x2)   蝸輪節圓直徑 d2' d2'=d2   蝸輪寬度B、頂圓直徑de2及蝸桿齒寬b1的計算公式 z1 B de2 x2 b1 1 ≤0.75da1 ≤da2+2m 0 -0.5 -1.0 0.5 1.0 ≥(11+0.06z2)m ≥(8+0.06z2)m ≥(10.5+0.06z1)m ≥(11+0.1z2)m ≥(12+0.1z2)m 當變位係數x2為中間值時，b1取x2 鄰近兩公式所求值的較大者。 經磨削的蝸桿，按左式所求的長度應再增加下列值： 當m<10mm時，增加25mm； 當m=10～16mm時，增加35～40mm； 當m>16mm時，增加50mm； 2 ≤da2+1.5m 4 ≤0.67da1 ≤da2+m 0 -0.5 -1.0 0.5 1.0 ≥(12.5+0.09z2)m ≥(9.5+0.09z2)m ≥(10.5+z1)m ≥(12.5+0.1z2)m ≥(13+0.1z2)m

   mn—法向模數，mn=mcosγ，mm；
　Ysa2—齒根應力校正係數，放在[σ]F 中考慮；
　Yε—彎曲疲勞強度的重合度係數，取Yε=0.667 ；
　Yβ—螺旋角影響係數，Yβ=1-γ/120°。

將以上參數代入上式得

式中：YFa2—蝸輪齒形係數，可由蝸輪的當量齒數及蝸輪的變位係數x2從圖<蝸輪齒形係數>中查得。

[σ]F—蝸輪的許用彎曲應力，MPa。[σ]F=[σ]F'·KFN，其中[σ]F'為計入齒根應力校正係數YSa2 后蝸輪的基本許用應力，由下表中選取；KFN為壽命係數，，其中應力循環次數N的計算方法同前。

蝸輪的基本許用彎曲應力（MPa）

蝸輪材料		鑄造方法	單側工作	雙側工作
鑄錫青銅ZCuSn10P1		砂模鑄造	40	29
		金屬模鑄造	56	40
鑄錫鋅鉛青銅ZCuSn5Pb5Zn5		砂模鑄造	26	22
		金屬模鑄造	32	26
鑄鋁鐵青銅ZCuAl10Fe3		砂模鑄造	80	57
		金屬模鑄造	90	64
灰鑄鐵	HT150	砂模鑄造	40	28
	HT200	砂模鑄造	48	34

   注: 表中各種青銅的基本許用彎曲應力為應力循環次數N=時之值，當N≠時，需將表中數值乘以壽命係數KFN；
　當N>25×時，取N=25×；當N<時，取N=。

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